Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，其中左焦點F（-2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=x+m與橢圓C交于兩個不同的兩點A，B，且線段的中點M總在圓x²+y²=1的內(nèi)部，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：

分析：（Ⅰ）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，其中左焦點F（-2，0），建立方程組，求出a，b，由此能夠得到橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段AB的中點為M（x₀，y₀），由直線代入橢圓方程消y得，3x²+4mx+2m²-8=0，再由根的判斷式結(jié)合題設(shè)條件能夠得到m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率為

2

2

，其中左焦點F（-2，0）．
∴

c a = 2 2 c=2 a2=b2+c2

，
∴a=2

2

，b=2，
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段AB的中點為M（x₀，y₀），
由直線代入橢圓方程消y得，3x²+4mx+2m²-8=0，
△=96-8m²＞0，∴-2

3

＜m＜2

3

．
∴x₀=

x1+x2

2

=-

2m

3

，y₀=x₀+m=

m

3

．
∵點M（x₀，y₀）在圓x²+y²=1上的內(nèi)部，
∴（-

2m

3

）²+（

m

3

）²＜1，
∴-

3 5

5

＜m＜

3 5

5

．

點評：本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．