Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，過(guò)A作AE垂直SB交SB于E點(diǎn)，作AH垂直SD交SD于H點(diǎn)，平面AEH交SC于K點(diǎn)，且AB=1，SA=2．
（1）設(shè)點(diǎn)P是SA上任一點(diǎn)，試求PB+PH的最小值；
（2）求證：E、H在以AK為直徑的圓上；
（3）求平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）將側(cè)面SAB繞側(cè)棱SA旋轉(zhuǎn)到與側(cè)面SAD在同一平面內(nèi)，當(dāng)B、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，PB+PH取最小值，這時(shí)，PB+PH的最小值即線段BH的長(zhǎng)，由此能求出結(jié)果．
（2）由已知條件推導(dǎo)出EA⊥BC，從而得到AE⊥平面SBC，EA⊥EK，同理推導(dǎo)出AH⊥KH，由此證明E、H在以AK為直徑的圓上．
（3）以A為原點(diǎn)，分別以AB、AD、AS所在的直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

解答： （1）解：將側(cè)面SAB繞側(cè)棱SA旋轉(zhuǎn)到與側(cè)面SAD在同一平面內(nèi)，如圖示，
則當(dāng)B、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，PB+PH取最小值，
這時(shí)，PB+PH的最小值即線段BH的長(zhǎng)，（1分）
設(shè)∠HAD=α，則∠BAH=π-α，
在Rt△AHD中，∵AH=

SA•AD

SD

=

2

5

，
∴cosα=

AH

AD

=

2

5

，（2分）
在三角形BAH中，由余弦定理得：
BH²=AB²+AH²-2AB•AH•cos（π-α）
=1+

4

5

-2×

2

5

×(-

2

5

)=

17

5

，
∴（PB+PH）_min=BH=

85

5

．（4分）
（2）證明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，
∴BC⊥平面SAB，又EA?平面SAB，∴EA⊥BC，（6分）
又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC，（7分）
又EK?平面SBC，∴EA⊥EK，（8分）
同理 AH⊥KH，∴E、H在以AK為直徑的圓上．（9分）
（3）解：如圖，以A為原點(diǎn)，
分別以AB、AD、AS所在的直線為x、y、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，（10分）
則S（0，0，2），C（1，1，0），
由（1）可得AE⊥SC，AH⊥SC，∴SC⊥平面AEKH，

SC

=（1，1，-2）為平面AEKH的一個(gè)法向量，（11分）

AS

=（0，0，2）為平面ABCDF的一個(gè)法向量，（12分）
設(shè)平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

AS

，

SC

＞|=|

-4

2 6

|=

6

3

，（13分）
∴平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值

6

3

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段和的最小值的求法，考查兩點(diǎn)共圓的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．