Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABBA₁為矩形，AB=1，AA₁=

2

，D為AA₁的中點(diǎn)，BD與AB₁交于點(diǎn)O，CO⊥側(cè)面ABBA₁．
（Ⅰ）求直線BC與直線AB₁所成的角；
（Ⅱ）若OC=

3

OA，求直線C₁D與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出AB₁⊥BD，AB₁⊥CO，從而得到AB₁⊥平面CBD，由此得到直線BC與直線AB₁所成的角為90°．
（Ⅱ）分別以O(shè)D，OB₁，OC所在的直線為x，y，z軸，建立空間直線坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線C₁D與平面ABC所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意tan∠ABD=

AD

AB

=

2

2

，tan∠AB₁B=

AB

BB1

=

2

2

，
∵∠ABD和∠AB₁B都是銳角，∴∠ABD=∠AB₁B，
∴∠ABD+∠BAB₁=∠AB₁B+∠BAB₁=

π

2

，
∴AB₁⊥BD，
又CO⊥側(cè)面ABB₁A₁，∴AB₁⊥CO，
∵BD∩CO=O，∴AB₁⊥平面CBD，
又∵BC?平面CBD，∴AB₁⊥BC，
∴直線BC與直線AB₁所成的角為90°．
（Ⅱ）如圖，分別以O(shè)D，OB₁，OC所在的直線為x，y，z軸，
建立空間直線坐標(biāo)系，則由題意得A（0，-

3

3

，0），B（-

6

3

，0，0），
C（0，0，1），B1(0，

2 3

3

，0)，D（

6

6

，0，0），
∵

CC1

=2

AD

，∴C1(

6

3

，

2 3

3

，1)，
∴

AB

=（-

6

3

，

3

3

，0），

AC

=（0，

3

3

，1），

DC1

=(

6

6

，

2 3

3

，1)，
設(shè)平面ABC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AB =- 6 3 x+ 3 3 y=0 n • AC = 3 3 y+z=0

，
取x=

3

，得

n

=（

3

，

6

，-

2

），
設(shè)直線C₁D與平面ABC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

DC1

，

n

＞|=|

( 6 6 ， 2 3 3 ，1)•( 3 ， 6 ，- 2 )

1 6 + 4 3 +1 • 3+6+2

|=

3 55

55

，
∴直線C₁D與平面ABC所成角的正弦值為

3 55

55

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與直線所成角的求法，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．