Question

已知函數(shù)f（x）=

1+lnx

x

．
（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間（a，a+

1

2

 ）（a＞0）上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）＞

2sinx

x+1

恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間（a，a+

1

2

 ）（a＞0）上存在極值，可得

a＜1 a+ 1 2 ＞1

，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）＞

2sinx

x+1

，等價(jià)于

(x+1)(1+lnx)

x

＞2sinx，構(gòu)造g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），證明g（x）在[1，+∞）上是單調(diào)遞增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：因?yàn)閒（x）=

1+lnx

x

（x＞0），則f′（x）=-

lnx

x2

（x＞0），
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x=1時(shí)，f′（x）=0．
所以函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值．
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（a，a+

1

2

 ）（a＞0）上存在極值，
所以

a＜1 a+ 1 2 ＞1

，解得

1

2

＜a＜1…（6分）
（Ⅱ）證明：當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）＞

2sinx

x+1

，等價(jià)于

(x+1)(1+lnx)

x

＞2sinx．
記g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1）
所以g′（x）=

x-lnx

x2

令h（x）=x-lnx，則h′（x）=1-

1

x

，
由x≥1得h′（x）≥0，所以h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以[h（x）]_min=h（1）=1＞0，
從而g′（x）＞0．
故g（x）在[1，+∞）上是單調(diào)遞增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，
因?yàn)楫?dāng)x≥1時(shí)，2sinx≤2，所以g（x）≥2sinx，
又因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，2sinx=2sin1＜2，
所以當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）＞2sinx，即

(x+1)(1+lnx)

x

＞2sinx，
所以當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）＞

2sinx

x+1

恒成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．