Question

已知命題“若點M（x₀，y₀）是圓x²+y²=r²上一點，則過點M的圓的切線方程為x₀x+y₀y=r²”．
（Ⅰ）根據(jù)上述命題類比：“若點M（x₀，y₀）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，則過點M的切線方程為

 

”（寫出直線的方程，不必證明）．
（Ⅱ）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁（-1，0），且經(jīng)過點（1，

3

2

）．
（i）求橢圓C的方程；
（ii）過F₁的直線l交橢圓C于A、B兩點，過點A、B分別作橢圓的兩條切線，求其交點的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）仿照圓的切線方程進行類比，能求出過橢圓上一點的切線方程．
（Ⅱ）（�。┰O(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，把點（1，

3

2

）代入，能求出橢圓方程．
（ⅱ）分別求出橢圓在點A、B處的切線方程，聯(lián)立方程組能求出交點的軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ）

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．（3分）
（Ⅱ）（ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點F₁（-1，0），
∴設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，
∵橢圓經(jīng)過點（1，

3

2

），
∴

1

a2

+

9

4a2-4

=1，
整理，得4a⁴-17a²+4=0，
解得a²=4，或a²=

1

4

，
∴橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．（7分）
（ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)為k，直線l的方程為y=k（x+1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則橢圓在點A處的切線方程為：

x1x

4

+

y1y

3

=1，①
橢圓在點B的切線方程為：

x2x

4

+

y2y

3

=1，②
聯(lián)立方程①②得：x=

4(y2-y1)

x1y2-x2y1

=

4k(x2-x1)

x1k(x2-1)-x2k(x1+1)

=-4，
即此時交點的軌跡方程：x=4．（11分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=-1，
此時A（-1，

3

2

），B（-1，-

3

2

），經(jīng)過AB兩點的切線交點為（-4，0）．
綜上所述，切線的交點的軌跡方程為：x=-4．（13分）

點評：本題考查切線方程的求法，考查橢圓方程的求法，考查交點的軌跡方程的求法，解題時要認真審題，注意計算能力、推理論證能力的培養(yǎng)．