Question

如圖1，在平面內(nèi)，是的矩形，是正三角形，將沿折起，使如圖2，為的中點，設(shè)直線過點且垂直于矩形所在平面，點是直線上的一個動點，且與點位于平面的同側(cè)．

（1）求證：平面；

（2）設(shè)二面角的大小為，若，求線段的長．

 

 

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面．解題時，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；（2）利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算．其中靈活建系是解題的關(guān)鍵．（3）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實施幾何問題代數(shù)化．同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理條件要完備．

試題解析：（1）連接，，

∽，又平面在正中，是的中點，又平面

（2））設(shè)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則

設(shè)平面的一個法向量為

則

設(shè)平面的一個法向量為

則

．

考點：（1）直線和平面垂直的判斷；（2）二面角的應(yīng)用．