Question

（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講

設(shè)關(guān)于x的不等式lg（|x＋3|＋|x－7|）＞a．

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，解這個(gè)不等式；

（2）當(dāng)a為何值時(shí)，這個(gè)不等式的解集為R．

Answer 1

（1）{x|x＜－3或x＞7}．（2）當(dāng)且僅當(dāng)a＜1時(shí)，對(duì)任何x∈R都成立．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式變?yōu)閨x＋3|＋|x－7|＞10，

當(dāng)x≥7時(shí)x+x-4＞10得：x＞7

當(dāng)-3＜x＜7時(shí)，x+4-x＞10不成立

當(dāng)x≤-3時(shí)-x+4-x＞10得：x＜-3

所以不等式的解集為{x|x＜－3或x＞7}． （4分）

（2）∵|x＋3|＋|x－7|≥|x＋3－（x－7）|＝10對(duì)任意x∈R都成立，∴l(xiāng)g（|x＋3|＋|x－7|）≥lg10＝1對(duì)任何x∈R都成立，即lg（|x＋3|＋|x－7|）＞a，當(dāng)且僅當(dāng)a＜1時(shí)，對(duì)任何x∈R都成立． （12分）

考點(diǎn)：本題考查絕對(duì)值不等式，恒成立的問(wèn)題