Question

某商家推出一款簡(jiǎn)單電子游戲，彈射一次可以將三個(gè)相同的小球隨機(jī)彈到一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)與中心共七個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)位置上（如圖），用S表示這三個(gè)球?yàn)轫旤c(diǎn)的三角形的面積．規(guī)定：當(dāng)三球共線時(shí)，S=0；當(dāng)S最大時(shí)，中一等獎(jiǎng)，當(dāng)S最小時(shí)，中二等獎(jiǎng)，其余情況不中獎(jiǎng)，一次游戲只能彈射一次．
（Ⅰ）求甲一次游戲中能中獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）設(shè)這個(gè)正六邊形的面積是6，求一次游戲中隨機(jī)變量S的分布列及期望值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意知這是隨機(jī)變量的等可能事件的概率問(wèn)題，彈射一次可以將三個(gè)相同的小球隨機(jī)彈到一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)與中心共七個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)位置上有

C

3 7

種方法，當(dāng)S最大時(shí)它的方法數(shù)有2種，當(dāng)S最小時(shí)有3種方法，由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）高駝個(gè)正六邊形的面積是一次游戲中隨機(jī)變量S的可能值為0，1，2，3，分別求出它們的概率，得分布列，進(jìn)而可求出期望值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，
彈射一次可以將三個(gè)相同的小球隨機(jī)彈到一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)
與中心共七個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)位置上有

C

3 7

種方法，
當(dāng)S最大時(shí)它的方法數(shù)有2種，
當(dāng)S最小時(shí)有3種方法，
∴甲中獎(jiǎng)的概率為P=

3+2

C 3 7

=

1

7

．
（Ⅱ）由題設(shè)知S的可能取值為0，1，2，3，
P（S=0）=

3

35

，P（S=1）=

18

35

，
P（S=2）=

12

35

，P（S=3）=

2

35

，
∴S的分布列為：

S	0	1	2	3
P	3 35	18 35	12 35	2 35

ES=0×

3

35

+1×

18

35

+2×

12

35

+3×

2

35

=

48

35

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查相古典概率、隨機(jī)變量的分布列與均值（數(shù)學(xué)期望）等知識(shí)，考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)