Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+

1

2

．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（Ⅱ）若對于任意x∈[2，4]，不等式f(

x+1

x-1

)＜f(

m

(x-1)2(7-x)

)恒成立，求正實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的定義域，然后利用f（-x）=-f（x）證明函數(shù)為奇函數(shù)；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)為減函數(shù)，把要求解的不等式轉(zhuǎn)化為

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

，分離變量m后再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，則正實數(shù)m的取值范圍可求．

解答： 解：（Ⅰ）f （x）在定義域上是奇函數(shù)．
證明：由2^x-1≠0，得x∈R且x≠0，
∴函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
當(dāng)x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時，f(x)=

1

2x-1

+

1

2

=

2x+1

2(2x-1)

，
f(-x)=

2-x+1

2(2-x-1)

=

1+2x

2(1-2x)

，
∴f（-x）=-f（x），
∴f （x）在定義域上是奇函數(shù)；

（Ⅱ）由于f′(x)=-

2xln2

(2x-1)2

，
當(dāng)x∈（-∞，0）或x∈（0，+∞）時，f′(x)=-

2xln2

(2x-1)2

＜0恒成立，
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上是減函數(shù)，
∵x∈[2，4]且m＞0，
∴

x+1

x-1

＞0，

m

(x-1)2(7-x)

＞0，
由f(

x+1

x-1

)＜f(

m

(x-1)2(7-x)

)及f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)2(7-x)

，
∵x∈[2，4]，
∴m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．
設(shè)g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，
則g（x）=-x³+7x²+x-7，
∴g′（x）=-3x²+14x+1=-3(x-

7

3

)2+

52

3

，
∴當(dāng)x∈[2，4]時，g′（x）＞0．
∴y=g（x）在[2，4]上是增函數(shù)，g（x）_min=g（2）=15．
綜上知符合條件的m的取值范圍是（0，15）．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷與證明，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)求解不等式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)值思想方法，是壓軸題．