Question

設(shè)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=x+b，且f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2，0），又在y=f（x）的圖象中，有一部分是頂點(diǎn)為（0，2），且過（-1，1）的一段拋物線．
（1）試求出f（x）的表達(dá)式；
（2）求出f（x）值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意知，x≤-1時(shí)，用點(diǎn)斜式求得，x≥1時(shí)用偶函數(shù)求得，-1＜x＜1時(shí)，用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式即可；
（2）分別求出f（x）各段的值域，最后求并集即可．

解答： 解：（1）經(jīng)過點(diǎn)（-2，0），斜率為1的射線：y=x+2，（x≤-1）
拋物線過（-1，1）和（0，2）
由于f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，令y=ax²+c，
則有a+c=1，c=2，
得y=-x²+2，（-1＜x＜1）
又函數(shù)在R上是偶函數(shù)
所以x≥1時(shí)，射線經(jīng)過（2，0）且斜率為-1，
即y=-x+2，（x≥1）
所以f（x）=

x+2，x≤-1 2-x2，-1＜x＜1 2-x，x≥1

．
（2）當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=x+2∈（-∞，1]，
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f（x）=2-x²∈（1，2]，
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=2-x∈（-∞，1]，
綜上可得，f（x）∈（-∞，2]
則f（x）的值域?yàn)椋海?∞，2]．

點(diǎn)評：本題主要考查分段函數(shù)及函數(shù)的圖象、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)的值域，待定系數(shù)法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．