Question

已知函數(shù)f（x）=（1-sin2ωx）•tan（

π

4

+ωx），（ω＞0）其圖象上相鄰的兩個最高點之間的距離為π．
（I）求f（x+

π

12

）在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的最小值，并求出此時x的值；
（Ⅱ）若α∈（

5π

12

，

π

2

），f（α+

π

3

）=

1

3

，求sin2α的值．

Answer 1

考點：二倍角的正弦,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）將函數(shù)進行化簡，求出f（x+

π

12

）的表達式，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的最小值，并求出此時x的值；
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的公式關(guān)系以及兩角和與差的正弦公式即可即可求sin2α的值．

解答： 解：（I）f（x）=（1-sin2ωx）•tan（

π

4

+ωx）=cos²ωx-sin²ωx=cos2ωx，
∵函數(shù)f（x）圖象上相鄰的兩個最高點之間的距離為π，
∴函數(shù)的周期T=π，即

2π

2ω

=2，則ω=1，
即f（x）=cos2x，f（x+

π

12

）=cos（2x+

π

6

），
∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，
∴當(dāng)2x+

π

6

=

2π

3

，即x=

π

4

時，函數(shù)f（x）取得最小；
（Ⅱ）f（α+

π

3

）=cos[2（α+

π

3

）]=cos（2α+

2π

3

）=-cos（2α-

π

3

）=

1

3

，
∴cos（2α-

π

3

）=-

1

3

，
若α∈（

5π

12

，

π

2

），則2α-

π

3

∈(

π

2

，

2π

3

)，
則sin（2α-

π

3

）=

2 2

3

，
則sin2α=sin[2α-

π

3

+

π

3

]=sin（2α-

π

3

）cos

π

3

+cos（2α-

π

3

）sin

π

3

2 2

3

•

1

2

+(-

1

3

)•

3

2

=

2 2 - 3

6

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用，綜合考查公式的應(yīng)用．