Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足

PM

•

PF

=0，

PM

+

PN

=0．
（1）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)Q是直線l：x=-1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作軌跡C的兩條切線QS，QT，切點(diǎn)分別為S，T，設(shè)切線QS，QT的斜率分別為k₁，k₂，直線QF的斜率為k₀，求證：k₁+k₂=2k₀．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)點(diǎn)N（x，y），M（a，0），P（0，b），由已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)M（-x，0），P(0，

y

2

)，由此能求出動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C的方程．
（2）設(shè)點(diǎn)Q（-1，t），聯(lián)立方程

y2=4x y-t=k(x+1)

，得k²x²+2（k²+kt-2）x+（k+t）²=0，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理能證明k₁+k₂=2k₀．

解答： （1）解：設(shè)點(diǎn)N（x，y），M（a，0），P（0，b）．
∵

PM

+

PN

=0可知，∴點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，
∴

a+x 2 =0 0+y 2 =b

，即

a=-x b= y 2

，
∴點(diǎn)M（-x，0），P(0，

y

2

)．
∴

PM

=(-x，-

y

2

)，

PF

=(1，-

y

2

)．    …3分
∵

PM

•

PF

=0，∴-x+

y2

4

=0，即y²=4x．
∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C的方程為y²=4x．…5分
（2）證明：設(shè)點(diǎn)Q（-1，t），
由于過點(diǎn)Q的直線y-t=k（x+1）與軌跡C：y²=4x相切，
聯(lián)立方程

y2=4x y-t=k(x+1)

，
整理得k²x²+2（k²+kt-2）x+（k+t）²=0．…7分
則△=4（k²+kt-2）²-4k²（k+t）²=0，
化簡(jiǎn)得k²+tk-1=0．
由題意知k₁，k₂是關(guān)于k的方程k²+tk-1=0的兩個(gè)根，
∴k₁+k₂=-t．
又k0=-

t

2

，∴k₁+k₂=2k₀．
∴k₁+k₂=2k₀．…10分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查斜率和相等的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式和韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．