Question

如圖，正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點E為AB上一點
（I）當(dāng)點E為AB的中點時，求證；BD₁∥平面A₁DE；
（II）求點A₁到平面BDD₁的距離；
（III）當(dāng)=時，求二面角D₁-EC-D的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）由中位線定理可得EF∥BD₁，再由線面平行的判定定理可得BD₁∥平面A₁DE；
（II）解法一：利用=，可求A₁到面BDD₁的距離；解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求得=（0，2，-1），面BDD₁的一個法向量為，從而可求點A₁到面BDD₁的距離；
（III）連接EC，過D作DH⊥EC于H，連接D₁H，證明∠DHD₁為D₁-EC-D的平面角，即可求二面角D₁-EC-D的大小；
解法二：確定面D₁EC的一個法向量，面DEC的一個法向量是=（0，0，1），利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
解答：（I）證明：連接AD₁交A₁D于F，則F為中點，連接EF，如圖．
∵E為中點，∴EF∥BD₁．
又EF?面A₁DE，BD₁?面A₁DE，
∴BD₁∥面A₁DE．…（3分）
（II）解法一：在Rt△ABD中，AB=2AD=2，可得BD=，
∴==，==，
設(shè)A₁到面BDD₁的距離為d，則由=有
，解得d=，
即A₁到面BDD₁的距離為．…（8分）
解法二：由面ABCD⊥面ADD₁A，且四邊形AA₁D₁D為正方形，四邊形ABCD為矩形，可得D₁D⊥AD，D₁D⊥DC，DC⊥DA．
于是以D為原點，DA，DC，DD₁分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
由AB=2AD=2知：D（0，0，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1），B（1，2，0），
∴=（1，2，0），=（0，0，1），=（0，2，-1）．
設(shè)面BDD₁的一個法向量為，
則，即，∴．
∴點A₁到面BDD₁的距離d==．   …（8分）
（III）解法一：連接EC．
由，有AE=，EB=，
過D作DH⊥EC于H，連接D₁H，由已知面AA₁D₁D⊥面ABCD且DD₁⊥AD，∴DD₁⊥面ABCD．
由三垂線定理知：D₁H⊥EC，∴∠DHD₁為D₁-EC-D的平面角．
Rt△EBC中，由EB=，BC=1，得EC=．
又DH•EC=DC•BC，代入解得DH=，
∴在Rt△DHD₁中，tan∠DHD₁=．
∴∠DHD₁=arctan，即二面角D₁-EC-D的大小為arctan．…（12分）
解法二：由（II）及題意知：E（1，，0），C（0，2，0），=（1，，-1），=（-1，，0）．
設(shè)面D₁EC的一個法向量為，
則，即可得．
又面DEC的一個法向量是=（0，0，1），
設(shè)D₁-EC-D的大小為θ，則cosθ==，得θ=arccos．
即D₁-EC-D的大小為arccos．（12分）
點評：本題線面平行，點到面的距離，考查面面角，解題時，兩法并舉，注意體會．