Question

如圖ABCD正方形，邊長為1，EC⊥平面ABCD，EC∥AF，且λEC=AF（λ＞1），
（1）證明：BD⊥EF
（2）若EC=1，求二面角B-EF-C平面角的取值范圍；
（3）設(shè)G是△BDF的重心，試問，是否有可能EG⊥平面BDF，若能求出EC的最小值，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出兩條直線所在的向量，利用向量的數(shù)量積等于0可得兩條直線垂直．
（2）分別求出兩個平面的發(fā)行量，利用向量的有關(guān)運算求出向量的夾角的余弦值進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角的余弦值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出余弦值的范圍進(jìn)而轉(zhuǎn)化為平面角的取值范圍，即可得到答案．
（3）應(yīng)該先假設(shè)EG⊥平面BDF，則得到一個關(guān)于CE長度的表達(dá)式，然后利用函數(shù)球最值的方法求出CE的最小值．

解答：解：（1）方法一：如圖建立坐標(biāo)系，B（1，0，0），D（0，1，0），

DB

=(1，-1，0)
設(shè)E（1，1，h），那么F（0，0，λh），
所以

FE

=(1，1，h-λh)

DB

•

FE

=0，
所以BD⊥EF．
（2）

BE

=(0，1，1)，

BF

=(-1，0，λ)，則面BEF得法向量

n

=(λ，-1，1)，平面EFC的法向量是

DB

=(1，-1，0)
所以cos＜

DB

，

n

＞=

λ+1

2 • λ2+2

=

(λ+1)2 2(λ2+2)

記f(λ)=

(λ+1)2

2(λ2+2)

 (λ＞1)，
所以f′(λ)=

(λ+1)(2-λ)

(λ2+2)2

所以f（λ）在（1，2）是增函數(shù)，在（2，+∞）是減函數(shù)，
所以f(λ)＜f(2)=

3

4

，f(λ)=

(λ+1)2

2(λ2+2)

=

1

2

(1+

2λ-1

λ2+2

)＞

1

2

，而f(1)=

2

3

所以

1

2

＜f(λ)＜

3

4

，
所以

2

2

＜cos＜

DB

，

n

＞≤

3

2

，
二面角B-EF-C平面角的取值范圍是[

π

6

，

π

4

)
（3）B（1，0，0），D（0，1，0），E（1，1，h），F(xiàn)（0，0，λh），
所以G(

1

3

，

1

3

，

λh

3

)，

GE

=(

2

3

，

2

3

，h-

λh

3

)

DB

=(1，-1，0)，

BF

=(-1，0，λh)，∴

GE

•

DB

=0，

GE

⊥

DB

若EG⊥平面BDF，則

GE

•

BF

=-

2

3

+λh(h-

λh

3

)=0
得h2=

2

3λ-λ2

(1＜λ＜3)，
所以當(dāng)CE2=

2

3λ-λ2

(1＜λ＜3)時，EG⊥平面BDF
此時CE2=

2

3λ-λ2

=

2

-(λ- 3 2 )2+ 9 4

≥

8

9

，所以ECmin=

2 2

3

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便建立坐標(biāo)系進(jìn)而利用向量求出有關(guān)問題的表達(dá)式，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者函數(shù)解析式的特征求其最值即可．