Question

（2012•綿陽三模）如圖，正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)
（I）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時，求證；BD₁∥平面A₁DE；
（II）求點(diǎn)A₁到平面BDD₁的距離；
（III）當(dāng)

AE

=

1

2

EB

時，求二面角D₁-EC-D的大�。�

Answer 1

分析：（I）由中位線定理可得EF∥BD₁，再由線面平行的判定定理可得BD₁∥平面A₁DE；
（II）解法一：利用VA-BDD1=VB-A1DD1，可求A₁到面BDD₁的距離；解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求得

A1B

=（0，2，-1），面BDD₁的一個法向量為

n1

=(-2，1，0)，從而可求點(diǎn)A₁到面BDD₁的距離；
（III）連接EC，過D作DH⊥EC于H，連接D₁H，證明∠DHD₁為D₁-EC-D的平面角，即可求二面角D₁-EC-D的大�。�
解法二：確定面D₁EC的一個法向量

n2

=(

2

3

，

1

2

，1)，面DEC的一個法向量是

DD1

=（0，0，1），利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答：（I）證明：連接AD₁交A₁D于F，則F為中點(diǎn)，連接EF，如圖．
∵E為中點(diǎn)，∴EF∥BD₁．
又EF?面A₁DE，BD₁?面A₁DE，
∴BD₁∥面A₁DE．…（3分）
（II）解法一：在Rt△ABD中，AB=2AD=2，可得BD=

5

，
∴S△BDD1=

1

2

×BD×DD1=

5

2

，S△A1DD1=

1

2

×A1D1×DD1=

1

2

，
設(shè)A₁到面BDD₁的距離為d，則由VA-BDD1=VB-A1DD1有

1

3

×

5

2

d=

1

3

×

1

2

×2，解得d=

2 5

5

，
即A₁到面BDD₁的距離為

2 5

5

．…（8分）
解法二：由面ABCD⊥面ADD₁A，且四邊形AA₁D₁D為正方形，四邊形ABCD為矩形，可得D₁D⊥AD，D₁D⊥DC，DC⊥DA．
于是以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
由AB=2AD=2知：D（0，0，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1），B（1，2，0），
∴

DB

=（1，2，0），

DD1

=（0，0，1），

A1B

=（0，2，-1）．
設(shè)面BDD₁的一個法向量為

n1

=(x1，1，z1)，
則

n1 • DB =0 n1 DD1 =0

，即

x1+2=0 z1=0

，∴

n1

=(-2，1，0)．
∴點(diǎn)A₁到面BDD₁的距離d=

| A1B • n1 |

| n1 |

=

2 5

5

．   …（8分）
（III）解法一：連接EC．
由

AE

=

1

2

AB

，有AE=

2

3

，EB=

4

3

，
過D作DH⊥EC于H，連接D₁H，由已知面AA₁D₁D⊥面ABCD且DD₁⊥AD，∴DD₁⊥面ABCD．
由三垂線定理知：D₁H⊥EC，∴∠DHD₁為D₁-EC-D的平面角．
Rt△EBC中，由EB=

4

3

，BC=1，得EC=

5

3

．
又DH•EC=DC•BC，代入解得DH=

6

5

，
∴在Rt△DHD₁中，tan∠DHD₁=

5

6

．
∴∠DHD₁=arctan

5

6

，即二面角D₁-EC-D的大小為arctan

5

6

．…（12分）
解法二：由（II）及題意知：E（1，

2

3

，0），C（0，2，0），

D1E

=（1，

2

3

，-1），

EC

=（-1，

4

3

，0）．
設(shè)面D₁EC的一個法向量為

n2

=(x2，y2，1)，
則

n2 • D1E =0 n2 • EC =0

，即

x2+ 2 3 y2-1=0 -x2+ 4 3 y2=0

可得

n2

=(

2

3

，

1

2

，1)．
又面DEC的一個法向量是

DD1

=（0，0，1），
設(shè)D₁-EC-D的大小為θ，則cosθ=

n2 • DD1

| n2 || DD1 |

=

6 61

61

，得θ=arccos

6 61

61

．
即D₁-EC-D的大小為arccos

6 61

61

．（12分）

點(diǎn)評：本題線面平行，點(diǎn)到面的距離，考查面面角，解題時，兩法并舉，注意體會．