Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=-1，a_n+1=a_n+

1

n(n+1)

，n∈N^*，寫出前5項，并寫出這個數(shù)列的一個通項公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：計算題

分析：由遞推公式依次求出數(shù)列的前5項，由歸納推理猜想出數(shù)列的一個通項公式，再由累加法、裂項相消法求出數(shù)列的通項公式．

解答： 解：因?yàn)閍₁=-1，a_n+1=a_n+

1

n(n+1)

，n∈N^*，
所以a2=a1+

1

2

=-

1

2

，a3=a2+

1

2×3

=-

1

3

，
同理可得，a₄=-

1

4

，a，5=-

1

5

，
猜想得，an=-

1

n

，
由a_n+1=a_n+

1

n(n+1)

得，a_n+1-a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
所以a2-a1=1-

1

2

，a3-a2=

1

2

-

1

3

，…，an-an-1=

1

n-1

-

1

n

，
以上n-1個式子相減得，an-a1=1-

1

n

，
又a₁=-1，所以an=-

1

n

，
則這個數(shù)列的一個通項公式是an=-

1

n

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推公式，累加法、裂項相消法求出數(shù)列的通項公式，以及歸納推理的應(yīng)用．