Question

【題目】數(shù)列{an}滿足a1= ，an+1﹣an+anan+1=0（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求證：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1．

Answer 1

【答案】解（Ⅰ）：由已知可得數(shù)列{an}各項非零． 否則，若有ak=0結(jié)合ak﹣ak﹣1+akak﹣1=0ak﹣1=0，
繼而ak﹣1=0ak﹣2=0…a1=0，與已知矛盾．
所以由an+1﹣an+anan+1=0可得 ．
即數(shù)列 是公差為1的等差數(shù)列．
所以 ．
所以數(shù)列{an}的通項公式是 （n∈N*）．
（Ⅱ） 證明一：因為 ．
所以a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an = ．
所以a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1．
證明二：a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an= = = ．
所以a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an＜1
【解析】（Ⅱ）由an+1﹣an+anan+1=0，兩邊同除以anan+1 ， 得 ，從而可知數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，進而可求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）方法一，放縮后，利用等比數(shù)列的求和公式， 方法二：放縮法后，利用裂項求和
【考點精析】通過靈活運用數(shù)列的通項公式，掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式即可以解答此題．