Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知F₁、F₂分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A、B分別是橢圓E的左、右頂點，且

AF2

=5

F2B

．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）已知點D（1，0）為線段OF₂的中點，M為橢圓E上的動點（異于點A、B），連接MF₁并延長交橢圓E于點N，連接MD、ND并分別延長交橢圓E于點P、Q，連接PQ，設直線MN、PQ的斜率存在且分別為k₁、k₂，試問是否存在常數λ，使得k₁+λk₂=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據橢圓的方程，條件可得：a+c=5（a-c），化簡得2a=3c，求出離心率．
（2）求得橢圓E的方程為

x2

9

+

y2

5

=1，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則直線MD的方程為x=

x1-1

y1

y+1，代入橢圓方程

x2

9

+

y2

5

=1．整理得

5-x1

y 2 1

y²+

x1-1

y1

y-4=0，運用韋達定理，整體求解即可，

解答： 解：（1）∵已知F₁、F₂分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A、B分別是橢圓E的左、右頂點，且

AF2

=5

F2B

．．
∴a+c=5（a-c），化簡得2a=3c，
故橢圓E的離心率為

2

3

．
（2）存在滿足條件的常數λ，λ=-

4

7

．
∵點D（1，0）為線段OF₂的中點，∴c=2，從而a=3，b=

5

，
左焦點F₁（-2，0），橢圓E的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則直線MD的方程為x=

x1-1

y1

y+1，
代入橢圓方程

x2

9

+

y2

5

=1．整理得

5-x1

y 2 1

y²+

x1-1

y1

y-4=0，
∵y₁+y₃=

y1(x1-1)

x1-5

，∴y₃=

4y1

x1-5

．
從而x₃=

5x1-9

x1-5

，故點P（

5x1-9

x1-5

，

4y1

x1-5

）．同理，點Q（

5x2-9

x2-5

，

4y2

x2-5

）
∵三點M、F₁、N共線，∴

y1

x1+2

=

y2

x2+2

，從而x₁y₂-x₂y₁=2（y₁-y₂）．
從而k₂=

y3-y4

x3-x4

=

y1y2-x2y1+5(y1-y2)

4(x1-x2)

=

7(y1-y2)

4(x1-x2)

=

7k1

4

．
故k₁-

4k2

7

=0，從而存在滿足條件的常數λ=-

4

7

．

點評：本題考查了橢圓與直線的位置關系，綜合考查了，方程，整體代入的方法，難度較大．