Question

已知函數(shù)f（x）=mx²-3x+1的圖象上其零點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，有兩種情況，一是只有一個(gè)在右側(cè)，二是兩個(gè)都在右側(cè)，分類討論即可．

解答： 解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=-3x+1，直線與x軸的交點(diǎn)為（

1

3

，0），即函數(shù)的零點(diǎn)為

1

3

，在原點(diǎn)右側(cè)，符合題意；
（2）當(dāng)m≠0時(shí)，∵f（0）=1，∴拋物線過點(diǎn)（0，1）；
若m＜0時(shí)，f（x）的開口向下，如圖所示；

∴二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)必然是一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，一個(gè)在原點(diǎn)左側(cè)，滿足題意；
若m＞0，f（x）的開口向上，如圖所示，要使函數(shù)的零點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，當(dāng)且僅當(dāng)△=9-4m≥0，且

3

2m

＞0即可，如圖所示，解得0＜m≤

9

4

；

綜上，m的取值范圍是（-∞，

9

4

]．
故答案為：（-∞，

9

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是中檔題．