Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，焦距為2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)M、N，且直線OM、MN、ON的斜率依次滿足k_MN²=k_OM•k_ON，求△OMN面積的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合a²=b²+c²解方程組，可以求出a，b的值；
（2）先利用待定系數(shù)法給出直線的方程，代入橢圓方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，然后結(jié)合韋達(dá)定理，斜率公式把k_MN²=k_OM•k_ON表達(dá)出來(lái)，找到待定系數(shù)k，m的關(guān)系，然后將面積用k，m表示出來(lái)，再將剛才的k，m的關(guān)系帶入，最終把面積表示成一個(gè)變量的函數(shù)的形式，通過(guò)求函數(shù)的最值最終解決問(wèn)題．

解答： 解析：（1）由已知得

2a=2×2b c a = 3 2 c2=a2-b2

，∴

a=2 b=1

，所以C方程：

x2

4

+y2=1．
（2）由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx+m（k≠0，m≠0）
聯(lián)立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，消去y并整理，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
則△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
此時(shí)設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1•x2=

4(m2-1)

1+4k2

，
于是y1•y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
又直線OM，MN，ON的斜率滿足

k

2 MN

=kOM•kON，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k2，所以-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
由m≠0，得k2=

1

4

⇒k=±

1

2

，又由△＞0，得0＜m²＜2，
顯然m²≠1，
設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d，則S△OMN=

1

2

|MN|d=

1

2

|m|

1-k2

1-k2

|x1-x2|=

1

2

|m|

(x1-x2)2-4x1x2

=

-(m2-1)2-1

，
故由m得取值范圍可得△OMN面積的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題是直線與橢圓位置關(guān)系的綜合題，一般是將直線方程代入橢圓，然后消元得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，借助于韋達(dá)定理完成用所設(shè)的參數(shù)表示所求的過(guò)度，最終利用方程或函數(shù)的思想解決問(wèn)題．