Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

2

x

，且f（2）=-5
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件先求出a，然后根據(jù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=ax+

2

x

，
由f（2）=-5，得2a+1=-5，
即a=-3，
所以f（x）=-3x+

2

x

，其定義域?yàn)閧x|x≠0}．
又f（-x）+f（x）=[-3（-x）-

2

x

]+（-3x+

2

x

）=3x-

2

x

-3x+

2

x

=0，
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（Ⅱ）任取x₂＞x₁＞0，
則f（x₂）-f（x₁）=（-3x₂+

2

x2

）-（-3x₁+

2

x1

）=3（x₁-x₂）+（

2

x2

-

2

x1

）=（x₁-x₂）（3+

2

x1x2

）．
因?yàn)閤₂＞x₁＞0，
所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
所以（x₁-x₂）（3+

2

x1x2

）＜0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．