【題目】問:是否存在這樣的正整數(shù)數(shù)列,滿足,且對每個,均有或;而其各項的值恰構成的一個排列?證明你的結論.
【答案】見解析
【解析】
由于,而,注意到,“差”運算具有“平移性”,即若或13,則對任意的整數(shù),也有或13.
為此,先將集合{1,2,…,33}中的數(shù)排成一個圈,使得圈上任何相鄰兩數(shù)之差均為20或13,如圖.
將此圈從任一間隙處剪開,鋪陳的線狀排列,均滿足或13.
為將數(shù)列鎖定,在前面添加一項,使數(shù)列也滿足條件,可選擇與數(shù)33相鄰的一個間隙剪開.例如,從33右側間隙剪開,并按順時針排列就成為:
0,13,26,6,19,32,12,25,5,18,31,11,24,4,17,30,10,23,3,16,29,9,22,2,15,28,8,21,1,14,27,7,20,33,(記為).
若從33左側間隙剪開,并按逆時針排列則成為:
0,20,7,27,14,…,6,26,13,33.
以上兩種排列均滿足或13.
記分段數(shù)列,
,
其中,.
將這些段作如下聯(lián)結:,所得到的數(shù)列滿足條件.
事實上,,
對其中任意兩個鄰項、屬于同一個分段,顯然,或13;若相鄰項、屬于兩個相鄰段與,則是的首項,即
,
而是的末項,即,此時,.
因此,數(shù)列滿足條件.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4,極坐標與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標系中,為坐標原點,曲線(為參數(shù)),在以平面直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,取相同單位長度的極坐標系中,直線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;
(2)直線與軸的交點,經(jīng)過點的直線與曲線交于兩點,若,求直線的傾斜角.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)求與橢圓有共同焦點且過點的雙曲線的標準方程;
(2)已知拋物線的焦點在軸上,拋物線上的點到焦點的距離等于5,求拋物線的標準方程和的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知向量,是平面內(nèi)的一組基向量,為內(nèi)的定點,對于內(nèi)任意一點,當時,則稱有序?qū)崝?shù)對為點的廣義坐標,若點、的廣義坐標分別為、,對于下列命題:
① 線段、的中點的廣義坐標為;
② A、兩點間的距離為;
③ 向量平行于向量的充要條件是;
④ 向量垂直于向量的充要條件是.
其中的真命題是________(請寫出所有真命題的序號)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校數(shù)學課外興趣小組為研究數(shù)學成績是否與性別有關,先統(tǒng)計本校高三年級每個學生一學期數(shù)學成績平均分(采用百分制),剔除平均分在40分以下的學生后,共有男生300名,女生200名.現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學生,按性別分為兩組,并將兩組學生成績分為6組,得到如下所示頻數(shù)分布表.
分數(shù)段 | [40,50) | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
男 | 3 | 9 | 18 | 15 | 6 | 9 |
女 | 6 | 4 | 5 | 10 | 13 | 2 |
(1)估計男、女生各自的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表),從計算結果看,數(shù)學成績與性別是否有關;
(2)規(guī)定80分以上為優(yōu)分(含80分),請你根據(jù)已知條件作出2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%以上的把握認為“數(shù)學成績與性別有關”.
優(yōu)分 | 非優(yōu)分 | 合計 | |
男生 | |||
女生 | |||
附表及公式:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A. 命題,都是假命題,則命題“”為真命題.
B. ,函數(shù)都不是奇函數(shù).
C. 函數(shù)的圖像關于對稱 .
D. 將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍后得到
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