Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）-m=0在區(qū)間[0，

2π

3

]上有兩個零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和誘導(dǎo)公式及倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理得關(guān)于x的正弦函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可取的函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間．
（2）要使若函數(shù)f（x）-m=0在區(qū)間[0，

2π

3

]上有兩個零點(diǎn)，即y=f（x）和y=m的圖象在此范圍有兩個交點(diǎn)，分別畫出兩函數(shù)的圖象，利用圖象可直觀得到答案．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）
=cos2x•

1

2

+sin2x•

3

2

-2sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）
=cos2x•

1

2

+sin2x•

3

2

-sin（2x+

π

2

）
=cos2x•

1

2

+sin2x•

3

2

-sin2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

）．
∴T=

2π

2

=π，
當(dāng)2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即kπ+

2π

3

≤x≤

5π

3

+kπ時，k∈Z，函數(shù)單調(diào)減，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

2π

3

，

5π

3

+kπ]（k∈Z）．
（2）根據(jù)五點(diǎn)畫圖法，可求得
故其圖象為：
函數(shù)f（x）-m=0在區(qū)間[0，

2π

3

]上有兩個零點(diǎn)，需y=f（x）和y=m的圖象有兩個交點(diǎn)，
如圖當(dāng)0＜m≤1時，-

1

2

≤m＜0時，直線與正弦函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)．
故m的范圍[-

1

2

，0）∪（0，1]．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想較為直觀．