Question

7．在△ABC中，動點P滿足$\overrightarrow{CA}$²=$\overrightarrow{CB}$²-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CP}$，則動點P軌跡一定通過三角形ABC的外心（“外心”、“內(nèi)心”、“重心”或“垂心”）

Answer 1

分析 由條件：${\overrightarrow{CA}}^{2}={\overrightarrow{CB}}^{2}-2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$，通過移項及數(shù)量積的運算即可得到$（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）•（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）=2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$，取AB中點M，從而可得到$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PM}=0$，這便說明AB⊥PM，從而P
便在AB的中垂線上，從而得出P點軌跡通過△ABC的外心．

解答 解：∵${\overrightarrow{CA}}^{2}={\overrightarrow{CB}}^{2}-2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$；
∴${\overrightarrow{CB}}^{2}-{\overrightarrow{CA}}^{2}=2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$；
∴$（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）•（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）=2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$；
取AB中點為M，則：$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CM}$，$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}$；
∴$2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$；
∴$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CP}）=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PM}=0$；
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{PM}$；
即AB⊥PM；
又M是AB中點；
∴P在邊AB的中垂線上；
∴P點軌跡一定通過三角形ABC的外心．
故答案為：外心．

點評 考查向量數(shù)量積的運算律，向量減法的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，向量垂直的充要條件，以及軌跡的概念，知道三角形的外心是三角形三邊中垂線的交點．