Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²．
（1）求函數(shù)f（x）在A（1，0）處的切線方程；
（2）若g′（x）在[1，+∞]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，盡快求函數(shù)f（x）在A（1，0）處的切線方程；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$，∴f′（1）=1，
故切線方程為y=x-1；
（2）∵g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²，
∴g′（x）=2（x-$\frac{a}{x}$+$\frac{lnx}{x}$-a），
令F（x）=x-$\frac{a}{x}$+$\frac{lnx}{x}$-a，則y=F（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
F′（x）=$\frac{{x}^{2}-lnx+a+1}{{x}^{2}}$，則當(dāng)x≥1時(shí)，x²-lnx+a+1≥0恒成立，
即當(dāng)x≥1時(shí)，a≥-x²+lnx-1恒成立．
令G（x）=-x²+lnx-1，則當(dāng)x≥1時(shí)，G′（x）=$\frac{1-2{x}^{2}}{x}$＜0，
故G（x）=-x²+lnx-1在[1，+∞）上單調(diào)遞減，從而G（x）_max=G（1）=-2，
故a≥-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)單調(diào)性與最值，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．