Question

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側(cè)面底面. 若.

（1）求證：平面；

（2）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn) 的位置并證明，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）由側(cè)面底面，PA⊥AD及面面垂直性質(zhì)定理得，PA⊥面ABCD，由線面垂直定義可得PA⊥CD，通過計(jì)算可證CD⊥AC，根據(jù)線面垂直判定定理可得CD⊥面PAC；（2）若E是PA中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，連結(jié)BE，EF，CF，由三角形中位線定理及平行公理可證四邊形BEFC為平行四邊形，則BE∥CF，根據(jù)線面平行的判定定理可得；（3）以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，顯然是平面PAD的法向量，求出PCD的法向量，求出這兩個(gè)法向量的夾角的余弦值，即可求出二面角A-PD—C的余弦值.

試題解析：（1）因?yàn)?，所以.

又因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面，

所以底面.

而底面，

所以.

在底面中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720475103062245/SYS201411172048026404372660_DA/SYS201411172048026404372660_DA.013.png">，，

所以 ， 所以.

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720475103062245/SYS201411172048026404372660_DA/SYS201411172048026404372660_DA.017.png">， 所以平面. 4分

（2）在上存在中點(diǎn)，使得平面，

證明如下：設(shè)的中點(diǎn)是，

連結(jié)，，，

則，且.

由已知，

所以. 又，

所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720475103062245/SYS201411172048026404372660_DA/SYS201411172048026404372660_DA.039.png">平面，平面，

所以平面. 8分

（3）由（1）知，PA⊥面ABCD，以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，則P（0，0，1），B(1,0,0)，D(0,2,0),C(1,1,0)，則=(1,1,-1),=(-1,1,0)，

顯然平面，所以為平面的一個(gè)法向量.

設(shè)面PCD的一個(gè)法向量=()，則==0且==0，取=1，則=1，=2，則.

設(shè)二面角的大小為，由圖可知，為銳角，

所以

即二面角的余弦值為. 12分

考點(diǎn):空間線面垂直、面面垂直判定與性質(zhì)，空間線面平行的判定與性質(zhì)，二面角計(jì)算