Question

【題目】已知a∈R，函數(shù)f（x）=ex﹣1﹣ax的圖象與x軸相切． （Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=ex﹣1﹣a，設(shè)切點(diǎn)為（x0 ， 0）， 依題意， ，解得
所以f′（x）=ex﹣1﹣1．
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣m（x﹣1）lnx，x＞0．
則g′（x）=ex﹣1﹣m（lnx+ ）﹣1，
令h（x）=g′（x），則h′（x）=ex﹣1﹣m（ + ），
（�。┤鬽≤ ，
因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，ex﹣1＞1，m（ + ）＜1，所以h′（x）＞0，
所以h（x）即g′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
又因?yàn)間′（1）=0，所以當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，
從而g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
而g（1）=0，所以g（x）＞0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx成立．
（ⅱ）若m＞ ，
可得h′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
因?yàn)閔′（1）=1﹣2m＜0，h′（1+ln（2m））＞0，
所以存在x1∈（1，1+ln（2m）），使得h′（x1）=0，
且當(dāng)x∈（1，x1）時(shí)，h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（1，x1）上單調(diào)遞減，
又因?yàn)間′（1）=0，所以當(dāng)x∈（1，x1）時(shí)，g′（x）＜0，
從而g（x）在（1，x1）上單調(diào)遞減，
而g（1）=0，所以當(dāng)x∈（1，x1）時(shí)，g（x）＜0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx不成立．
縱上所述，k的取值范圍是（﹣∞， ]
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象與x軸相切，求出a的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及f（x）＞m（x﹣1）lnx，求出m的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．