Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-1（x≥0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，

1

2

），其中a＞0，a≠1．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）=a^x-1（x≥0）的值域．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=a^x-1（x≥0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，

1

2

），可得

1

2

=a2-1，由此求得a的值．
（2）由（1）知f(x)=(

1

2

)x-1(x≥0)在[0，+∞）上為減函數(shù)，f（0）=2，再由指數(shù)函數(shù)的值域求出f（x）=a^x-1（x≥0）的值域．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=a^x-1（x≥0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，

1

2

），
∴

1

2

=a2-1，解得a=

1

2

，
∴f(x)=(

1

2

)x-1(x≥0)．
（2）由（1）知f(x)=(

1

2

)x-1(x≥0)，又∵0＜

1

2

＜1，
∴f(x)=(

1

2

)x-1(x≥0)在[0，+∞）上為減函數(shù)，
又∵f(x)=(

1

2

)x-1(x≥0)的定義域?yàn)閇0，+∞），且f（0）=2，
∴f(x)=(

1

2

)x-1(x≥0)的值域?yàn)椋?，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，指數(shù)函數(shù)的值域，屬于中檔題．