【題目】已知函數(shù)f(x)=4cosωxsin(ωx)(ω>0)的最小正周期是π.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若f(x0),x0∈[,],求cos2x0的值.
【答案】(1)(0,],[,π).(2)
【解析】
(1)利用兩角和差的三角公式結(jié)合輔助角公式進行化簡,結(jié)合周期公式求出ω的值,結(jié)合單調(diào)性進行求解即可.
(2)根據(jù)條件,結(jié)合兩角和差的余弦公式進行求解即可.
(1)f(x)=4cosωx(sinωxcoscosωxsin)
=4cosωx(sinωxcosωx)=2sinωxcosωx﹣2cos2ωxsin2ωx﹣cos2ωx﹣1=2sin(2ωx)﹣1,
∵f(x)的最小正周期是π,
∴Tπ,得ω=1,
即f(x)=2sin(2x)﹣1,
由2kπ2x2kπ,k∈Z
得kπx≤kπ,k∈Z
即函數(shù)的增區(qū)間為[kπ,kπ],k∈Z,
∵x∈(0,π),
∴當(dāng)k=0時,x,此時0<x,
當(dāng)k=1時,x≤π,此時x<π,
綜上函數(shù)的遞增區(qū)間為(0,],[,π).
(2)若f(x0),
則2sin(2x0)﹣1,
則sin(2x0),
∵x0∈[,],∴2x0∈[,π],
2x0∈[,],則cos(2x0),
則cos2x0=cos(2x0)=cos(2x0)cossin(2x0)sin
.
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【題目】已知定義在的奇函數(shù)滿足:①;②對任意均有;③對任意,均有.
(1)求的值;
(2)利用定義法證明在上單調(diào)遞減;
(3)若對任意,恒有,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知下表為函數(shù)部分自変量取值及其對應(yīng)函數(shù)值,為了便于研究,相關(guān)函數(shù)值取非整數(shù)值時,取值精確到0.01.
0.61 | -0.59 | -0.56 | -0.35 | 0 | 0.26 | 0.42 | 1.57 | 3.27 | |
0.07 | 0.02 | -0.03 | -0.22 | 0 | 0.21 | 0.20 | -10.04 | -101.63 |
據(jù)表中數(shù)據(jù),研究該函數(shù)的一些性質(zhì);
(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并證明;
(2)判斷函數(shù)在區(qū)間[0.55,0.6]上是否存在零點,并說明理由;
(3)判斷的正負,并證明函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù).
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【題目】已知橢圓的一個焦點為,離心率為.不過原點的直線與橢圓相交于兩點,設(shè)直線,直線,直線的斜率分別為,且成等比數(shù)列.
(1)求的值;
(2)若點在橢圓上,滿足的直線是否存在?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】函數(shù)f(x)的定義域為D={x|x≠0},且滿足對于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),求x的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,對于任意正實數(shù),不等式恒成立,試判斷實數(shù)的大小關(guān)系.
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【題目】在中,角,,的對邊分別是,且.
(1)求角的大;
(2)已知等差數(shù)列的公差不為零,若,且,,成等比數(shù)列,求數(shù)列的前項和.
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【題目】(題文)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù))在以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點.若直線與曲線相交于不同的兩點,求的值.
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