設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值．

（I）橢圓的方程為；
（II）當(dāng)時(shí)，，故

解析試題分析：（I）由題設(shè)知，，， 由，
得．解得．所以橢圓的方程為
（II）方法1：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/8c/0/jfyra1.png" style="vertical-align:middle;" />的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以所以

．
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即．
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即．
故．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/a3/8/hianx1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，
法2：由題知圓N: 的圓心為N；則

從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值；
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，設(shè)點(diǎn)所以，即．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/2d/2/15o593.png" style="vertical-align:middle;" />,所以；
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/a3/8/hianx1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，，故
方法3：①若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，
由，解得．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/db/9/1zk6u2.png" style="vertical-align:middle;" />是橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，
所以，即．所以
故．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/a3/8/hianx1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，，故
②若直線EF的斜率不存在，此時(shí)EF的方程為； 由，解得或. 
不妨設(shè)E(0，3),F(0，1)； 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，設(shè)點(diǎn)所以，即
所以，故
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/a3/8/hianx1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，，故
考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。
點(diǎn)評(píng)：難題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，注意明確焦點(diǎn)軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（2）注意討論直線的斜率存在、不存在兩種情況，易于忽視。熟練進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是正確解題的關(guān)鍵。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓:的焦距為,離心率為,其右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于另一點(diǎn).
（Ⅰ）若,求外接圓的方程;
（Ⅱ）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)、，且，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中，射線OA: x－y=0（x≥0），
OB: x+2y=0（x≥0），過(guò)點(diǎn)P(1,0)作直線分別交射線OA、OB于A、B兩點(diǎn).
（1）當(dāng)AB中點(diǎn)為P時(shí)，求直線AB的方程；
（2）當(dāng)AB中點(diǎn)在直線上時(shí)，求直線AB的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓過(guò)點(diǎn)，其長(zhǎng)軸、焦距和短軸的長(zhǎng)的平方依次成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線與軸正半軸、軸分別交于點(diǎn)，與橢圓分別交于點(diǎn)，各點(diǎn)均不重合，且滿足，． 當(dāng)時(shí)，試證明直線過(guò)定點(diǎn)．過(guò)定點(diǎn)（1，0）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上．若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)、的距離之和等于4．
（1）寫(xiě)出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相切，直線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)的面積有最小值？并求出最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)圓C與兩圓，中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切.
（1）求C的圓心軌跡L的方程；
（2）設(shè)直線l是圓O:在P（x0，y0）(x0y0 ≠ 0)處的切線，且P在圓上，l與軌跡L相交不同的A,B兩點(diǎn)，證明：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知離心率為的橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦，若點(diǎn)在軸上，且使得為的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)為該橢圓的“左特征點(diǎn)”，求橢圓的“左特征點(diǎn)”的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，離心率，直線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）若為橢圓上的點(diǎn)，求的范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案