【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1),a∈R
(1)討論函數(shù)f(x)的單調性;
(2)當x≥1時,f(x)≤ 恒成立,求a的取值范圍.
【答案】
(1)
解: f(x)的定義域為(0,+∞), ,
若a≤0,則f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上單調遞增,
若a>0,則由f′(x)=0,得x= ,
當x∈(0, )時,f′(x)>0,
當x∈( )時,f′(x)<0,
∴f(x)在(0, )上單調遞增,在( ,+∞)單調遞減.
所以當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上單調遞增,
當a>0時,f(x)在(0, )上單調遞增,在( ,+∞)單調遞減.
(2)
解:f(x)﹣ = ,
令g(x)=xlnx﹣a(x2﹣1),(x≥1),
g′(x)=lnx+1﹣2ax,令F(x)=g′(x)=lnx+1﹣2ax,
,
①若a≤0,F(xiàn)′(x)>0,g′(x)在[1,+∞)遞增,
g′(x)≥g′(1)=1﹣2a>0,
∴g(x)在[1,+∞)遞增,g(x)≥g(1)=0,
從而f(x)﹣ 不符合題意.
②若0<a< ,當x∈(1, ),F(xiàn)′(x)>0,
∴g′(x)在(1, )遞增,
從而g′(x)>g′(1)=1﹣2a,
∴g(x)在[1,+∞)遞增,g(x)≥g(1)=0,
從而f(x)﹣ 不符合題意.
③若a ,F(xiàn)′(x)≤0在[1,+∞)恒成立,
∴g′(x)在[1,+∞)遞減,g′(x)≤g′(1)=1﹣2a≤0,
從而g9x)在[1,+∞)遞減,
∴g(x)≤g(1)=0,f(x)﹣ ≤0,
綜上所述,a的取值范圍是[ ).
【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+∞), ,若a≤0,f(x)在(0,+∞)上單調遞增;若a>0時,f(x)在(0, )上單調遞增,在( ,+∞)單調遞減.(2)f(x)﹣ = ,令g(x)=xlnx﹣a(x2﹣1),(x≥1),g′(x)=lnx+1﹣2ax,令F(x)=g′(x)=lnx+1﹣2ax, ,由此進行分類討論,能求出實數(shù)a的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識,掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.現(xiàn)給出如下結論:
①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0;
③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0.
其中正確結論的序號是________.
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【題目】下列說法正確的個數(shù)有( )
①用刻畫回歸效果,當越大時,模型的擬合效果越差;反之,則越好;
②可導函數(shù)在處取得極值,則;
③歸納推理是由特殊到一般的推理,而演繹推理是由一般到特殊的推理;
④綜合法證明數(shù)學問題是“由因索果”,分析法證明數(shù)學問題是“執(zhí)果索因”.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】2018年1曰8日,中共中央、國務院隆重舉行國家科學技術獎勵大會,在科技界引發(fā)熱烈反響,自主創(chuàng)新正成為引領經(jīng)濟社會發(fā)展的強勁動力.某科研單位在研發(fā)新產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)了一種新材料,由大數(shù)據(jù)測得該產(chǎn)品的性能指標值與這種新材料的含量(單位:克)的關系為:當時, 是的二次函數(shù);當時, .測得數(shù)據(jù)如表(部分)
(1)求關于的函數(shù)關系式;
(2)其函數(shù)的最大值.
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【題目】如圖,正方體中,點在上運動,給出下列四個命題:
①三棱錐的體積不變; ②;
③平面; ④平面平面;
其中正確的命題是__________.
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【題目】在直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù),且0≤<2π),曲線l的極坐標方程為ρ= (k是常數(shù),且k∈R).
(1)求曲線C的普通方程和曲線l直角坐標方程;
(2)若曲線l被曲線C截的弦是以( ,1)為中點,求k的值.
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【題目】定義在上的函數(shù)滿足條件,且函數(shù)是偶函數(shù),當時, ;當時, 的最小值為,則=( )
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù)及函數(shù)(a,b,c∈R),若a>b>c且a+b+c=0.
(1)證明:f(x)的圖像與g(x)的圖像一定有兩個交點;
(2)請用反證法證明:;
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【題目】假設關于某設備的使用年限(年)和所支出的維修費用(萬元)有如下統(tǒng)計資料:
/年 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
/萬元 |
若由資料知, 對呈線性相關關系,試求:
(1)回歸直線方程;
(2)估計使用年限為10年時,維修費用約是多少?
參考公式:回歸直線方程: .其中
(注: )
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