Question

函數(shù)f（x）=lg（x²+2x+

a

x

），x∈（0，+∞），若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）恒有意義，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)建立不等式關(guān)系，利用參數(shù)恒成立的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=lg（x²+2x+

a

x

），x∈（0，+∞），
∴若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）恒有意義，
則x²+2x+

a

x

＞0在x∈[1，+∞）上恒成立，
即a＞-x³-2x²在x∈[1，+∞）上恒成立，
設(shè)g（x）=-x³-2x²，則g'（x）=-3x²-4x=-3x（x+

4

3

），
則當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，g'（x）=-3x²-4x=-3x（x+

4

3

）＜0恒成立，
即函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）的最大值為g（1）=-1-2=-3，
∴a＞-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系研究函數(shù)的單調(diào)性是解決的關(guān)鍵．