Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c+4lnx的極值點為1和2．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）試討論方程f（x）=3x²根的個數(shù)；
（Ⅲ）設h（x）=f（x）-+x，斜率為k的直線與曲線y=h（x）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點，試比較與的大小，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為函數(shù)極值點是在函數(shù)的導數(shù)等于0時得到，所以，對函數(shù)f（x）求導，把x=1和x=2代入導數(shù)，等于0，就可求出a，b的值．
（Ⅱ）由f（x）=3x²得x²-6x+c+4lnx=3x²，c=2x²+6x-4lnx，設g（x）=2x²+6x-4lnx，x∈（0，+∞）．要求方程f（x）=3x²根的個數(shù)，也即求g（x）與x軸交點個數(shù)，利用導數(shù)可得．
（Ⅲ）把f（x）=3x²代入h（x）=f（x）-+x，因為斜率為k的直線與曲線y=h（x）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點，所以可用A，B點坐標表示k，這樣，k就與用相同參數(shù)表示，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，就可證明．
解答：解：（Ⅰ），x∈（0，+∞），
由y=f（x）的極值點為1和2，
∴2ax²+bx+4=0的根為1和2，
∴解得
（Ⅱ）由f（x）=3x²得x²-6x+c+4lnx=3x²，c=2x²+6x-4lnx，設g（x）=2x²+6x-4lnx，x∈（0，+∞）.，
當x變化時，g'（x）與g（x）的變化情況如下表：

x
g'（x）	-	+
g（x）	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

由此得，函數(shù)y=g（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．
∴，
且當x正向趨近于0時，g（x）趨近于+∞，
當x趨近于+∞時，g（x）趨近于+∞．
∴當時，方程只有一解；
當時，方程有兩解；
當時，方程無解．
（Ⅲ）．
證明：由（Ⅰ）得f（x）=x²-6x+c+4lnx，
∴，x₂＞x₁＞0．
要證，即證，
只需證，（因為）
即證．只需證．（*）
設（x＞1），∵，
∴φ（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，φ（x）＞φ（1）=0，
∴不等式（*）成立．
∴．
點評：本題考查了應用導數(shù)求極值，以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，做題時要細心，避免出錯．