已知兩個不共線的向量
a
，
b
的夾角為θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x為正實數(shù)．
（1）若
a
+2
b
與
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及對應的x的值，并指出此時向量
a
與x
a
-
b
的位置關系；
（3）若θ為銳角，對于正實數(shù)m，關于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有兩個不同的正實數(shù)解，且x≠m，求m的取值范圍．
分析：（1）利用
a
+2
b
與
a
-4
b
垂直，（
a
+2
b
）•（
a
-4
b
）=0，可得，化簡，即可求出tanθ；
（2）將模平方，結合二次函數(shù)的性質(zhì)，可求|x
a
-
b
|的最小值及對應的x的值，利用數(shù)量積公式，可確定向量
a
與x
a
-
b
的位置關系；
（3）方程|x
a
-
b
|=|m
a
|，等價于9x2-3cosθx+1-9m2=0，利用關于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有兩個不同的正實數(shù)解，建立不等式，即可確定結論．
解答：解：（1）∵
a
+2
b
與
a
-4
b
垂直，
∴（
a
+2
b
）•（
a
-4
b
）=0
∴
a
2-2
a
•
b
-8
b
2=0
∵|
a
|=3，|
b
|=1，
∴9-6cosθ-8=0
∴cosθ=
1
6

∵θ∈[0，π]
∴sinθ=
35
6

∴tanθ=
sinθ
cosθ
=
35
；
（2）θ=
π
6
，|x
a
-
b
|2=9x2-
3
x+1
∴x=-
-
3
18
=
3
18
時，|x
a
-
b
|的最小值為
132
12

此時
a
•（x
a
-
b
）=9x-3•
3
2
=0，
∴
a
與x
a
-
b
垂直；
（3）方程|x
a
-
b
|=|m
a
|，等價于9x2-3cosθx+1-9m2=0
∵關于x的方程|x
a
-
b
|=|m
a
|有兩個不同的正實數(shù)解，
∴
9cos2θ-36(1-9m2)＞0
cosθ
3
＞0
1-9m2
9
＞0

∴-
1
3
＜m＜-
3
6
或
3
6
＜m＜
1
3
．
點評：本題考查向量的數(shù)量積公式，考查方程根的研究，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量a，b滿足a+2xb=xa+yb，那么實數(shù)x，y的值分別是（　�。�
A、0，0B、1，2C、0，1D、2，1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量
a
，
b
滿足
a
=(1，
3
)，
b
=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
（1）若2
a
-
b
與
a
-7
b
垂直，求向量
a
與
b
的夾角；
（2）當θ∈[0，
π
2
]時，若存在兩個不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|成立，求正數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量
a
，
b
，它們的夾角為θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，x為正實數(shù)．
（1）若
a
+2
b
與
a
-4
b
垂直，求tanθ；
（2）若θ=
π
6
，求|x
a
-
b
|的最小值及對應的x的值，并判斷此時向量
a
與x
a
-
b
是否垂直？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩個不共線的向量
a
，
b
，它們的夾角為θ，且|
a
|=3，|
b
|=1，若
a
+
b
與
a
-4
b
垂直，則sin(θ+
π
6
)=
 
．

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