Question

已知兩個(gè)不共線的向量

a

，

b

，它們的夾角為θ，且|

a

|=3，|

b

|=1，x為正實(shí)數(shù)．
（1）若

a

+2

b

與

a

-4

b

垂直，求tanθ；
（2）若θ=

π

6

，求|x

a

-

b

|的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值，并判斷此時(shí)向量

a

與x

a

-

b

是否垂直？

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可得出；
（2）利用數(shù)量積的性質(zhì)和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）∵

a

+2

b

與

a

-4

b

垂直，∴(

a

+2

b

)•(

a

-4

b

)=0，
∴

a

2-2

a

•

b

-8

b

2=0，
∴3²-2×3×1×cosθ-8×1²=0，∴cosθ=

1

6

．
又θ∈（0，π），
∴sinθ=

1-cos2θ

=

35

6

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

35

．
（2）|x

a

-

b

|=

(x a - b )2

=

x2 a 2-2x a • b + b 2

=

9(x- 3 6 )2+ 1 4

，
故當(dāng)x=

3

6

時(shí)，|x

a

-

b

|取得最小值為

1

2

，
此時(shí)

a

•(x

a

-

b

)=x

a

2-

a

•

b

=

3

6

×9-3×1×cos

π

6

=0，
故向量

a

與x

a

-

b

垂直．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)量積運(yùn)算、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、數(shù)量積的性質(zhì)和二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．