Question

【題目】已知函數(shù)，，

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增與單調(diào)遞減區(qū)間（直接寫結果）；

（2）當時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，試求實數(shù)m的取值范圍；

（3）若不等式對任意，恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；

（2）；

（3）.

【解析】

（1）將題中所給的的值代入解析式，利用對勾函數(shù)的性質寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間即可；

（2）解不等式即可得結果；

（3）將題中所給的式子進行變形，將問題轉化為在上單調(diào)遞增，結合分段函數(shù)的解析式和二次函數(shù)圖象的對稱軸，分類討論得到結果.

（1）當時，，

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，

單調(diào)減區(qū)間為和；

（2）因為，

且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又因為在上的最大值為，所以，

即，整理得，

所以，所以，即，

所以的取值范圍是；

（3）由對任意恒成立，

即，

令，等價于在上單調(diào)遞增，

而，

分以下三種情況來討論：

（i）當時，即時，

結合函數(shù)圖象可得，解得，矛盾，無解；

（ii）時，即時，

函數(shù)圖象的走向為減、增、減、增，但是中間增區(qū)間的長度不足1，

要想使函數(shù)在上單調(diào)遞增，

只能，解得，矛盾，無解；

（iii），即，

此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

要想使函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以需要，解得，所以，

綜上，滿足條件的的取值范圍是.