【題目】已知三個(gè)點(diǎn)A(2,1)、B(3,2)、D(﹣1,4).
(1)求證: ;
(2)要使四邊形ABCD為矩形,求點(diǎn)C的坐標(biāo),并求矩形ABCD兩對(duì)角線所夾銳角的余弦值.

【答案】
(1)證明:A(2,1),B(3,2),D(﹣1,4).

=(1,1), =(﹣3,3).

又∵ =1×(﹣3)+1×3=0,


(2)解:∵ ,若四邊形ABCD為矩形,則

設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),則有(1,1)=(x+1,y﹣4),

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,5).

由于 =(﹣2,4), =(﹣4,2),

=(﹣2)×(﹣4)+4×2=16, =2

設(shè)對(duì)角線AC與BD的夾角為θ,則cosθ= = >0.

故矩形ABCD兩條對(duì)角線所夾銳角的余弦值為


【解析】(1)運(yùn)用平面向量的數(shù)量積得出 =1×(﹣3)+1×3=0,求解即可.(2) ,坐標(biāo)得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,5).再運(yùn)用數(shù)量積求解得出cosθ= = >0.

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