Question

為配合國慶黃金周，促進(jìn)旅游經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某火車站在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：開始售票前，已有a人在排隊(duì)等候購票．開始售票后，排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增b人．假設(shè)每個(gè)窗口的售票速度為c人/分鐘，且當(dāng)開放兩個(gè)窗口時(shí)，25分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象（即排隊(duì)的人剛好購?fù)辏�；若同時(shí)開放三個(gè)窗口時(shí)，則15分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象．
（1）若要求售票10分鐘后不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，則至少需要同時(shí)開幾個(gè)窗口？
（2）若a=60，在只開一個(gè)窗口的情況下，試求第n（n∈N^*且n≤118）個(gè)購票者的等待時(shí)間t_n關(guān)于n的函數(shù)，并求出第幾個(gè)購票者的等待時(shí)間最長？
（注：購票者的等待時(shí)間指從開即始排隊(duì)（售票開始前到達(dá)的人，從售票開始計(jì)時(shí)）到開始購票時(shí)止）

Answer 1

分析：（1）由已知中每個(gè)窗口的售票速度為c人/分鐘，且當(dāng)開放兩個(gè)窗口時(shí)，25分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象（即排隊(duì)的人剛好購?fù)辏�；若同時(shí)開放三個(gè)窗口時(shí)，則15分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，我們可以構(gòu)造關(guān)于a，b，c的方程，進(jìn)而由售票10分鐘后不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于x的不等式，即可得到答案．
（2）首先確定第n個(gè)人的等待時(shí)間的函數(shù)，分析其最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)需同時(shí)開x個(gè)窗口，
則根據(jù)題意有，

a+25b=50c(1) a+15b=45c(2) a+10b≤10cx(3)

由（1）（2）得，c=2b，a=7b代入（3）得，75b+10b≤20bx，∴x≥4.25，
即至少同時(shí)開5個(gè)窗口才能滿足要求．
（2）由a=60得，b=0.8，c=1.6，設(shè)第n個(gè)人的等待時(shí)間為t_n，則由題意有，
當(dāng)n≤60（n∈N^*）時(shí)，tn=

n-1

1.6

；
當(dāng)60＜n≤118（n∈N^*）時(shí)，設(shè)第n個(gè)人是售票開始后第t分鐘來排隊(duì)的，
則n=60+0.8t，此時(shí)已有1.6t人購到票離開隊(duì)伍，即實(shí)際排隊(duì)的人數(shù)為n-1.6t，
∴tn=

(n-1.6t)-1

1.6

=

119-n

1.6

，
綜上，t_n關(guān)于n的函數(shù)為tn=

n-1 1.6 ，(n≤60，n∈N*) 119-n 1.6 ，(60＜n≤118，n∈N*)

，
∵當(dāng)n≤60時(shí)，(tn)max=

60-1

1.6

=36.875分鐘，
當(dāng)60＜n≤118時(shí)，(tn)max＜

119-60

1.6

=36.25分鐘，
∴第60個(gè)購票者的等待時(shí)間最長．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，在利用函數(shù)模型，解答應(yīng)用題時(shí)，解答的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出函數(shù)的解析式，屬于中檔題．