Question

2013年國(guó)慶黃金周旅游市場(chǎng)依舊火爆．一旅行社為某旅行團(tuán)包機(jī)旅游，其中旅行社的包機(jī)費(fèi)15000元，旅行團(tuán)中每人的飛機(jī)票按以下方式與旅行社結(jié)算：若旅行團(tuán)人數(shù)不超過(guò)35人，飛機(jī)票每張800元；若旅行團(tuán)人數(shù)多于35人，則給予如下優(yōu)惠：每多1人，每張機(jī)票減少10元，但旅行團(tuán)的人數(shù)最多不超過(guò)60人，記旅行團(tuán)人數(shù)為x，每個(gè)人的機(jī)票錢為y元．
（1）寫出y與x的關(guān)系式．
（2）當(dāng)旅行團(tuán)人數(shù)為57人時(shí)，旅行社獲得的利潤(rùn)Q是否為最大利潤(rùn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意得，當(dāng)1≤x≤35時(shí)，y=800，當(dāng)35＜x≤60時(shí)，y=800-10（x-35）=-10x+1150，由此能求出飛機(jī)票價(jià)格元與旅行團(tuán)人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）旅行社獲得的利潤(rùn)Q=機(jī)票錢y×旅行團(tuán)人數(shù)x-包機(jī)費(fèi)，列出利潤(rùn)Q的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分兩段分別求解每一段的最大值，最后兩段最大值進(jìn)行比較，即可確定答案．

解答：解：（1）∵旅游團(tuán)人數(shù)為x人，每一個(gè)人機(jī)票y元，
∴當(dāng)1≤x≤35時(shí)，y=800，
當(dāng)35＜x≤60時(shí)，y=800-10（x-35）=-10x+1150，
∴y=

800(0＜x≤35，x∈N) 1150-10x 35＜x≤60 x∈N

，
（2）∵利潤(rùn)Q=機(jī)票錢y×旅行團(tuán)人數(shù)x-包機(jī)費(fèi)，
∴Q=

800x-15000，(1≤x≤35，x∈N) -10x2+1150x-15000，(35＜x≤60，x∈N)

，
①當(dāng)1≤x≤35，x∈N時(shí)，Q=800x-15000為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴當(dāng)x=35時(shí)，Q取得最大值為Qmax=800×35-15000=13000；
②當(dāng)35＜x≤60，x∈N時(shí)，Q=-10x²+1150x-15000，
對(duì)稱軸為x=57.5，
又∵x∈N，
∴當(dāng)x=57或x=58時(shí)，Q取得最大值為Qmax=18060，
∴當(dāng)人數(shù)為57或58人時(shí)利潤(rùn)最大，
∴當(dāng)旅行團(tuán)人數(shù)為57人時(shí)旅行社獲得的利潤(rùn)是最大的．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．本題建立的數(shù)學(xué)模型為分段函數(shù)，對(duì)于分段函數(shù)一般選用數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題．屬于中檔題．