為配合國(guó)慶黃金周，促進(jìn)旅游經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某火車(chē)站在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：開(kāi)始售票前，已有a人在排隊(duì)等候購(gòu)票．開(kāi)始售票后，排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增b人．假設(shè)每個(gè)窗口的售票速度為c人/分鐘，且當(dāng)開(kāi)放兩個(gè)窗口時(shí)，25分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象（即排隊(duì)的人剛好購(gòu)?fù)辏�；若同時(shí)開(kāi)放三個(gè)窗口時(shí)，則15分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象．
（1）若要求售票10分鐘后不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，則至少需要同時(shí)開(kāi)幾個(gè)窗口？
（2）若a=60，在只開(kāi)一個(gè)窗口的情況下，試求第n（n∈N*且n≤118）個(gè)購(gòu)票者的等待時(shí)間tn關(guān)于n的函數(shù)，并求出第幾個(gè)購(gòu)票者的等待時(shí)間最長(zhǎng)？
（注：購(gòu)票者的等待時(shí)間指從開(kāi)即始排隊(duì)（售票開(kāi)始前到達(dá)的人，從售票開(kāi)始計(jì)時(shí)）到開(kāi)始購(gòu)票時(shí)止）
【答案】
分析：（1）由已知中每個(gè)窗口的售票速度為c人/分鐘，且當(dāng)開(kāi)放兩個(gè)窗口時(shí)，25分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象（即排隊(duì)的人剛好購(gòu)?fù)辏�；若同時(shí)開(kāi)放三個(gè)窗口時(shí)，則15分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，我們可以構(gòu)造關(guān)于a，b，c的方程，進(jìn)而由售票10分鐘后不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于x的不等式，即可得到答案．
（2）首先確定第n個(gè)人的等待時(shí)間的函數(shù)，分析其最值，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)需同時(shí)開(kāi)x個(gè)窗口，
則根據(jù)題意有，
由（1）（2）得，c=2b，a=7b代入（3）得，75b+10b≤20bx，∴x≥4.25，
即至少同時(shí)開(kāi)5個(gè)窗口才能滿(mǎn)足要求．
（2）由a=60得，b=0.8，c=1.6，設(shè)第n個(gè)人的等待時(shí)間為t
n，則由題意有，
當(dāng)n≤60（n∈N
*）時(shí)，
；
當(dāng)60＜n≤118（n∈N
*）時(shí)，設(shè)第n個(gè)人是售票開(kāi)始后第t分鐘來(lái)排隊(duì)的，
則n=60+0.8t，此時(shí)已有1.6t人購(gòu)到票離開(kāi)隊(duì)伍，即實(shí)際排隊(duì)的人數(shù)為n-1.6t，
∴
，
綜上，t
n關(guān)于n的函數(shù)為
，
∵當(dāng)n≤60時(shí)，
分鐘，
當(dāng)60＜n≤118時(shí)，
分鐘，
∴第60個(gè)購(gòu)票者的等待時(shí)間最長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，在利用函數(shù)模型，解答應(yīng)用題時(shí)，解答的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出函數(shù)的解析式，屬于中檔題．
