過點P(
10
2
,0)作傾斜角為α的直線l與曲線C:x2+2y2=1交于不同的兩點M,N,求|PM|•|PN|的取值范圍.
考點:直線和圓的方程的應用
專題:計算題,直線與圓
分析:設出直線的參數(shù)方程,把直線的參數(shù)方程代入橢圓方程,由于直線與橢圓相交兩點,可得△>0,得出sinα的取值范圍,再利用參數(shù)的幾何意義可得|PM|•|PN|=|t1t2|=
3
2
1+sin2α
即可.
解答: 解:設直線l的參數(shù)方程為
x=
10
2
+tcosα
y=tsinα
t為參數(shù)).
把直線的參數(shù)方程代入橢圓方程x2+2y2=1,整理得)
代入曲線C的方程并整理得(1+sin2α)t2
10
 tcosα
+
3
2
=0
設兩點M,N所對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1t2=
3
2
1+sin2α

則|PM|•|PN|=|t1t2|=
3
2
1+sin2α

由△=(
10
cosα)2
-4(1+sin2α)×
3
2
>0
得0≤sinα<
1
2
,
所以|PM|•|PN|的取值范圍是(
6
5
,
3
2
].
點評:本題考查了直線的參數(shù)方程及其幾何意義、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識與基本技能方法,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A是三角形ABC的內(nèi)角,則“cosA=
1
2
”是“sinA=
3
2
”的( 。
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在△ABC中,若B=120°,AC=
3
,則
BC
sinA
=( 。
A、2
B、1
C、
3
D、
3
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知直線的傾斜角的余弦值是
1
2
,則此直線的斜率是( 。
A、
3
B、-
3
C、
3
2
D、±
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a、b、c是不全相等的正數(shù),且0<x<1.求證:logx
a+b
2
+logx
b+c
2
+logx
a+c
2
<logxa+logxb+logxc.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對某中學高二年級學生是愛好體育還是愛好文娛進行調(diào)查,共調(diào)查了40人,所得2×2列聯(lián)表如下:
愛好
體育
愛好
文娛
合計
男生 15 A B
女生 C 10 D
合計 20 E 40
已知P(K2>2.072)=0.15,p(k2≥2.760)=0.01
(1)將2×2列聯(lián)表A、B、C、三處補充完整;
(2)若已選出指定的三個男生甲、乙、丙;兩個女生M,N,現(xiàn)從中選兩人參加某項活動,求選出的兩個人恰好是一男一女的概率;
(3)試用獨立性檢驗方法判斷性別與愛好體育的關系?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖某拋物線形拱橋跨度是20cm,拱橋高度是4m,在建橋時,每4m需用一根支柱支撐,求其中最長支柱AB的長.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的最高點D的坐標(
π
8
,2),由D點運動到相鄰最低點時函數(shù)曲線與x軸的交點(
8
,0)
(1)求f(x)的解析式
(2)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
1
2
,長軸長為4,M為右頂點,過右焦點F的直線與橢圓交于A、B兩點,直線AM、BM與x=4分別交于P、Q兩點,(P、Q不重合).
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求證:
FP
FQ
=0.

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