Question

（2011•邢臺一模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA=AD=1，PA⊥面ABCD，E是AB的中點，F(xiàn)為PC上一點，且EF∥面PAD．
（I）證明：F為PC的中點；
（II）若二面角C-PD-E的平面角的余弦值為

6

3

，求直線ED與平面PCD所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由EF∥面PAD，根據(jù)過A、E、F三點可以確定平面，找出過三點的平面與平面PAD的交線，得到平面與PD的交點G，然后利用線面平行的判定及性質(zhì)證明FG平行切等于CD的一半，從而說明F為PC的中點；
（Ⅱ）首先找出二面角C-PD-E的平面角，經(jīng)分析可知∠FGE為二面角的平面角，在直角三角形GFE中，由∠FGE的余弦值為

6

3

列式求解得到AB的長度，在軸在直角三角形EFD中通過解直角三角形求得直線ED與平面PCD所成的角．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
設(shè)平面AEF∩直線PD=G，則平面AEF∩平面PAD=AG，
∵EF∥平面PAD，∴EF∥AG，
又AE∥CD，∴AE∥面PCD，又平面AEF∩平面PCD=FG，
∴AE∥FG．
故四邊形AEFG是平行四邊形．
又E是AB的中點，即AE=

1

2

AB=

1

2

CD．
∴FG=

1

2

CD，而FG∥AE∥CD，
∴F是PC的中點；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知F、G分別為PC、PD的中點，又PA=AD．
∴AG⊥PD，而EF∥AG，
∴EF⊥PD，
易知Rt△PAE≌Rt△CBE，∴PE=EC，∴EF⊥PC，又PC∩PD=P，
∴EF⊥平面PCD．
又PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，由三垂線定理，得CD⊥PD．
∵FG∥CD，∴FG⊥PD．
連結(jié)EG，由三垂線定理知，EG⊥PD，∴∠FGE為二面角C-PD-E的平面角．
設(shè)AB=2a，則FG=

1

2

CD=

1

2

AB=a．
在Rt△EFG中，EG=

EF2+FG2

=

( 2 2 )2+a2

．
∴cos∠FGE=

FG

EG

=

6

3

，解得a=1，∴AB=2．
連結(jié)FD，則∠EDF即為ED與平面PCD所成的角．
∴sin∠EDF=

EF

ED

=

AG

AE2+AD2

=

1

2

．
即直線ED與平面PCD所成的角為30°．

點評：本題考查了空間直線與直線的位置關(guān)系，考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了線面角及二面角，綜合考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了三垂線定理的用法，是中檔題．