Question

已知函數(shù)f（x）=1+3•（

1

2

）^x，若不等式f（x）+f（x+2）≤k對(duì)于任意的x≥0總成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=1+3•（

1

2

）^x，從而有f（x）+f（x+2）=2+

15

4

•（

1

2

）^x≤k在（0，+∞）上恒成立，從而轉(zhuǎn)化為求解2+

15

4

•（

1

2

）^x在（0，+∞）上的最大值．

解答： 解：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）+f（x+2）=1+3•（

1

2

）^x+1+3•（

1

2

）^x+2=2+

15

4

•（

1

2

）^x，
又∵函數(shù)y=（

1

2

）^x在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴（

1

2

）^x≤1，
∴f（x）+f（x+2）≤2+

15

4

≤

23

4

，
又由已知f（x）+f（x+2）≤k對(duì)于任意的x≥0總成立，
∴k≥

23

4

，
因此所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是[

23

4

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，將函數(shù)的恒成立的問(wèn)題的解決常轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值．