Question

 已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切正整數(shù)n，點P_n(n，S_n)都在函數(shù)f(x)＝x²＋2x的圖象上，且在點P_n(n，S_n)處的切線的斜率為k_n.

(1) 求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(2) 若b_n＝2k_na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n.

Answer 1

解： (1) ∵ 點P_n(n，S_n)在函數(shù)f(x)＝x²＋2x的圖象上，

∴ S_n＝n²＋2n(n∈N^*)，當(dāng)n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2n＋1，當(dāng)n＝1時，a₁＝S₁＝3滿足上式，所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n＝2n＋1.

(2) 由f(x)＝x²＋2x，求導(dǎo)得f′(x)＝2x＋2.

∵ 在點P_n(n，S_n)處的切線的斜率為k_n，

∴ k_n＝2n＋2，∴ b_n＝2k_na_n＝4·(2n＋1)·4ⁿ，

∴ T_n＝4×3×4＋4×5×4²＋4×7×4³＋…＋4×(2n＋1)×4ⁿ，

用錯位相減法可求得T_n＝·4^n＋2－.