Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．PD=AD
（1）求二面角A-PB-C的余弦值；
（2）求點D到平面PAB的距離．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）令A(yù)D=1，則AB=2因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

3

，可得∠ADB=90°，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點A，B，C，P的坐標(biāo)，求平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出這兩個向量的夾角的余弦值即可；
（2）由（1）知平面PAB的法向量為

n1

=（

3

，1，

3

），利用距離公式，即可求點D到平面PAB的距離．

解答： 解：（1）令A(yù)D=1，則AB=2．
又∠DAB=60°，由余弦定理知BD=

1+4-2×1×2× 1 2

=

3

所以AD²+BD²=AB²，即∠ADB=90°
建立如圖坐標(biāo)系
則A（1，0，0）、P（0，0，1）、B（0，

3

，0）、C（-1，

3

，0）
設(shè)平面PAB的法向量為

n1

=（x，y，z），
∵

PA

=（1，0，-1），

PB

=（0，

3

，-1），
∴

x-z=0 3 y-z=0

，∴取

n1

=（

3

，1，

3

）
同理平面PCB的法向量為

n2

=（0，1，

3

）
cos＜

n1

，

n2

＞=

1+3

2 7

=

2 7

7

記二面角A-PB-C的夾角為α，如圖可知α為鈍角
∴cosα=-

2 7

7

，
故二面角A-PB-C的余弦值為-

2 7

7

；
（2）由（1）知平面PAB的法向量為

n1

=（

3

，1，

3

）
∴

n0

=（

3

7

，

1

7

，

3

7

）
又D（0，0，0），∴

DP

=（0，0，1）
∴D到平面PAB的距離d=|

DP

•

n0

|=

3

7

=

21

7

點評：此題是個中檔題．考查線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，以及應(yīng)用空間向量求空間角問題，考查同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題能力．