已知是A、B、C直線l上的三點，向量
OA
，
OB
，
OC
滿足：
OA
-[f（x）+
1
x
]•
OB
-（x-1）•
OC
=
.
0
，且對任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是
 
．
考點：函數(shù)恒成立問題,平面向量數(shù)量積的運算
專題：綜合題,平面向量及應用
分析：利用三點共線的等價條件，建立條件關系，求出函數(shù)y=f（x）的解析式，再分類討論，化為具體不等式，即可確定實數(shù)m的取值范圍
解答： 解：∵A、B、C是直線l上不同的三點，向量
OA
，
OB
，
OC
滿足：
OA
-[f（x）+
1
x
]•
OB
-（x-1）•
OC
=
.
0
，
∴f（x）+
1
x
+（1-x）=1，
∴f（x）=x-
1
x
，
∴f′（x）=1+
1
x2
，
∴f（x）為增函數(shù)，且m≠0，
若m＞0，則f（mx）、mf（x）均為增函數(shù)，此時不符合題意；
若m＜0，則mx-
1
mx
+mx-
m
x
＜0，∴1+
1
m2
＜2x2，
∵y=2x2在[1，+∞）上的最小值為2，∴1+
1
m2
＜2，
∴m＜-1．
故答案為：m＜-1．
點評：本題主要考查不等式恒成立的應用，考查向量知識，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，利用三點共線的等價條件，以及復合函數(shù)的單調(diào)性之間的關系是解決本題的關鍵，綜合性較強，運算量較大．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的左、右頂點為A，B，離心率為
3
2
，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線l：x=-
10
3
分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若A為線段MS的中點，求△SAB的面積；
（3）求線段MN長度的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，A1（-2，0），A2（2，0）是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個端點，M是橢圓上不同于A1，A2的點，且MA1與MA2的斜率之積為-
3
4
，F(xiàn)（c，0）為橢圓C的右焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線MA1，MA2分別與直線x=
a2
c
相交于點P，Q，證明：FP⊥FQ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、D分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點和上頂點，點P是線段AD的中點，點F1、F2分別是橢圓C的左、右焦點，且|F1F2|=2
3
，
PF1
•
PF2
=-
7
4
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的右頂點為B，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS、BS與直線x=
34
15
分別交于M、N兩點，求|MN|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前n項和，且滿足an2=S2n-1，n∈N*．數(shù)列{bn}滿足bn=
1
an•an+1
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；
（2）求證：
1
3
≤Tn＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若不等式|x-a|-|x|＜2-a2對x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x＞0，y＞0，且x+y+
1
x
+
1
y
=10，則x+y的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知i為虛數(shù)單位，則|
1
i
+i3|=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若關于x的不等式|x-2|+|x-3|＜t，（t∈T）的解集非空．
（Ⅰ）求集合T；
（Ⅱ）若a，b∈T，求證：ab+1＞a+b．

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