Question

拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F的直線交拋物線于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，AC垂直準(zhǔn)線于C，BD垂直準(zhǔn)線于D，又O為原點(diǎn)．
（1）證明：CF⊥DF      
（2）A、O、D三點(diǎn)共線    
（3）

1

AF

+

1

BF

=

2

p

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）首先根據(jù)拋物線的定義，證明三角形ACF是等腰三角形；然后證明CF平分∠OFA，同理DF平分∠OFB，據(jù)此判斷出CF⊥DF即可；
（2）首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線的方程，代入到拋物線方程中，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，進(jìn)而得到兩根之積；然后根據(jù)BD∥x軸與點(diǎn)D在準(zhǔn)線上可求得D的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出直線DO的斜率，同時(shí)可得到k也是直線OA的斜率，據(jù)此證明即可；
（3）首先設(shè)過(guò)F的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理后，根據(jù)韋達(dá)定理可求得x₁x₂的值；然后根據(jù)拋物線定義可知，|AF|=x₁+

p

2

，|BF|=x₂+

p

2

，代入證明結(jié)論即可．

解答： 解：（1）如圖，由拋物線的定義可知
AC=AF，三角形ACF是等腰三角形；
因?yàn)锳C∥OF，
所以CF平分∠OFA，
同理DF平分∠OFB，
所以∠CFD=90°，
即CF⊥DF；      
（2）因?yàn)閽佄锞�y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（

p

2

，0），
所以設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線的方程為x=my+

p

2

，
把它代入拋物線方程，可得y²-2pmy-p²=0；
因?yàn)锳（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以y₁，y₂是該方程的兩個(gè)根，
則y₁y₂=-p²；
因?yàn)锽D∥x軸，且點(diǎn)D在準(zhǔn)線x=-

p

2

上，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-

p

2

，y₂），
故直線DO的斜率為

y2

- p 2

=

2p

y1

=

y1

x1

，
即k也是直線OA的斜率，
所以直線AD經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，
即A、O、D三點(diǎn)共線； 
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線的方程為y=k（x-

p

2

），
把它代入拋物線方程，可得4k²x²-4p（k²+2）x+p²=0；
因?yàn)锳（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以x₁，x₂是該方程的兩個(gè)根，
則x₁+x₂=

p(k2+2)

k2

，x₁x₂=

p2

4k2

，
根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，
|AF|=x₁+

p

2

，|BF|=x₂+

p

2

，
所以

1

AF

+

1

BF

=

x1+x2+p

(x1+ p 2 )(x2+ p 2 )

=

p(k2+2) k2 +p

p2 4k2 + p 2 • p(k2+2) k2 + p2 4

=2
因此

1

AF

+

1

BF

=

2

p

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的概念和性質(zhì)的運(yùn)用，考查了直線的方程和性質(zhì)，屬于中檔題．