Question

已知函數(shù)f（x）=asin（ωx+

π

3

），g（x）=btan（ωx-

π

3

）（ω＞0）的最小正周期之和為

3π

2

，且f（

π

2

）=g（

π

2

），f（

π

4

）+

3

g（

π

4

）=1，
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和對稱中心；
（3）解不等式-

1

2

≤g（x）＜

3

2

．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意及函數(shù)解析式和函數(shù)周期之和，求出ω的值，再利用已知等式條件建立a，b的方程，解出結(jié)果，求出函數(shù)的解析式．
（2）由于g（x）=

1

2

tan（2x-

π

3

），令 kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．令 2x-

π

3

=

1

2

kπ，求得x的值，可得函數(shù)g（x）的對稱中心的坐標(biāo)．
（3）由不等式可得-1≤tan（2x-

π

3

）＜

3

，可得kπ-

π

4

≤2x-

π

3

＜kπ+

π

3

，由此求得x的范圍，可得不等式的解集．

解答： 解：（1）由條件得

2π

ω

+

π

ω

=

3π

2

，∴ω=2．
由f（

π

2

）=g（

π

2

），得a=2b①，
由f（

π

4

）+

3

g（

π

4

）=1，得a=2-2b②，
∴由①②解得a=1，b=

1

2

，∴f（x）=sin（2x+

π

3

），g（x）=

1

2

tan（2x-

π

3

）．
（2）由于g（x）=

1

2

tan（2x-

π

3

），令 kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜kπ+

π

2

，k∈z，
求得

kπ

2

-

π

12

＜x＜

kπ

2

+

5π

12

，可得函數(shù)的增區(qū)間為（

kπ

2

-

π

12

，

kπ

2

+

5π

12

），k∈z．
令 2x-

π

3

=

1

2

kπ，求得x=

kπ

4

+

π

6

，k∈z，故函數(shù)g（x）的對稱中心為（

kπ

4

+

π

6

，0），k∈z．
（3）由不等式-

1

2

≤g（x）＜

3

2

，可得-1≤tan（2x-

π

3

）＜

3

，
∴kπ-

π

4

≤2x-

π

3

＜kπ+

π

3

，求得kπ-

π

4

≤2x-

π

3

＜kπ+

π

3

，k∈z，

kπ

2

+

π

24

≤x＜

kπ

2

+

π

3

，k∈z，
故不等式的解集為[

kπ

2

+

π

24

，

kπ

2

+

π

3

），k∈z．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的圖象的單調(diào)性和對稱性，解三角不等式，屬于基礎(chǔ)題．