Question

經(jīng)過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為．點、在軌跡上，且關(guān)于軸對稱，過線段（兩端點除外）上的任意一點作直線，使直線與軌跡在點處的切線平行，設(shè)直線與軌跡交于點、．
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：；
（3）若點到直線的距離等于，且△的面積為20，求直線的方程．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）.

解析試題分析：（1）方法1是利用直接法，設(shè)動點坐標(biāo)為，根據(jù)題中條件列式并化簡進而求出動點的軌跡方程；方法2是將問題轉(zhuǎn)化為圓心到定點的距離等于點到定直線的距離，利用拋物線的定義寫出軌跡的方程；（2）由于軸，利用直線與直線的斜率互為相反數(shù)證明；（3）方法1是先將的方程與拋物線的方程聯(lián)立求出點的坐標(biāo)，并根據(jù)一些幾何性質(zhì)求出、，并將的面積用點的坐標(biāo)表示以便于求出點的坐標(biāo)，結(jié)合點的坐標(biāo)求出直線的方程；方法2是利用（2）中的條件與結(jié)論，利用直線確定點和點坐標(biāo)之間的關(guān)系，借助弦長公式求出、，并將的面積用點的坐標(biāo)表示以便于求出點的坐標(biāo)，結(jié)合點的坐標(biāo)求出直線的方程.
試題解析：（1）方法1：設(shè)動圓圓心為，依題意得，．        1分
整理，得．所以軌跡的方程為．                   2分
方法2：設(shè)動圓圓心為，依題意得點到定點的距離和點到定直線的距離相等，
根據(jù)拋物線的定義可知，動點的軌跡是拋物線．                    1分
且其中定點為焦點，定直線為準(zhǔn)線．
所以動圓圓心的軌跡的方程為．    2分

（2）由（1）得，即，則．
設(shè)點，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為
．          3分
由題意知點．設(shè)點，，
則，
即．                  4分
因為，．           5分
由于，即．         6分
所以．                               7分
（3）方法1：由點到的距離等于，可知