已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為，直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上， = +，求橢圓的方程.
+y2=1
由e=得a2=4b2,橢圓可化為:
x2+4y2=4b2.
將y=x+1代入上式，消去y并整理得：
x2+2x+2-2b2="0.                                                " ①
∵直線y=x+1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，
∴Δ=4-4（2-2b2）＞0,∴b＞.
設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x,y),則由
= +,
得.
∵M(jìn)在橢圓上，∴（x1+x2)2+(y1+y2)2=4b2,
∴x1x2+4y1y2=0.
∴x1x2+·4=0，
即x1x2+(x1+x2)+2="0                            " ②
又由①知x1+x2=-2,x1·x2=2-2b2,
代入②中得b2=1,滿足b＞.
∴橢圓方程為+y2=1.
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(-5，0)、(5，0)，邊AC、BC所在直線的斜率
之積為-，求頂點(diǎn)C的軌跡.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題








（1）求橢圓的離心率；
（2）若左焦點(diǎn)設(shè)過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與x軸交于，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

.（本小題滿分14分）已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）若橢圓的離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：不論如何變化，橢圓恒過定點(diǎn)；
（3）若直線過（2）中的定點(diǎn)，且橢圓的離心率，求原點(diǎn)到直線距離的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)（0，）且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.
（1）求k的取值范圍；
（2）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在常數(shù)k，使得向量+與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

將橢圓繞其左焦點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得橢圓方程是              

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓的面積為，若全集，
集合，則所表示的圖形的面積為（   ）．
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，它在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連成60°的角，兩準(zhǔn)線間的距離等于8，求橢圓方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知長方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)P(0,2)的直線交(Ⅰ)中橢圓于M,N兩點(diǎn),是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.

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